Transformée De Fourier Usuelles – Transformée De Laplace Pdf
La transformation de Fourier étant une application linéaire, nous pouvons en déduire la transformation de Fourier du produit des cosinus: \(Tf(x(t))=X(\nu)=\frac{1}{4}(\delta(\nu-(\nu_1+\nu_2))+\delta(\nu+(\nu_1+\nu_2))+\delta(\nu-(\nu_1-\nu_2))+\delta(\nu+(\nu_1-\nu_2))\) La transformation de Fourier du produit de deux cosinus est donc deux distributions de Dirac situées aux fréquences \(\nu_1+\nu_2\) et \(\nu_1-\nu2\) (et de même dans les fréquences négatives). Transformée de Fourier d'un sinus amorti exponentiellement Soit x(t) un signal sinusoïdal amorti exponentiellement: \(x(t)=e^{-at}\sin(2\pi f_0 t)\) pour t \(\ge0\) et x(t)=0 pour t négatif. La transformée de Fourier X \((\nu)\) de x(t) est alors: \(X(\nu)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-i2\pi\nu t}dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-at}\sin(2\pi f_0 t)e^{-i2\pi\nu t}dt\) En remplaçant le sinus par une exponentielle complexe on obtient: \(X(\nu)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{t(i2\pi f_0 -a-i2\pi \nu}-e^{-t(a+i2\pi f_0+i2\pi \nu)}}{2i}dt\) Cette expression s'intègre en utilisant la primitive de l'exponentielle.
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Finalement on obtient: \(X(\nu)=\frac{2\pi f_0}{(a+i2\pi\nu)^2+(2\pi f_0)^2}\) On remarque que pour \(\nu=0\) on a \(X(0)=\frac{2\pi f_0}{a^2+(2\pi f_0)^2}\) et pour \(\nu=f_0\), \(X(f_0)=\frac{2\pi f_0}{a^2+4ai\pi f_0}\) A partir de ces deux valeurs on peut déterminer la valeur de a et de \(f_0\) en utilisant le spectre. Vous pouvez le vérifier fixant la valeur de a dans la fenêtre suivante. Amortissement d'un signal
Transformation de Fourier des fonctions usuelles
Donc on ne peut calculer la transformation de Fourier de la fonction sinus. Néanmoins si la définition est étendue en utilisant la théorie des distributions on peut calculer la transformation de Fourier. \(Tf(sin(2\pi \nu_0 t))=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}sin(2\pi \nu_0 t)e^{-i2\pi \nu t}dt=\frac{1}{2i}\bigg(\delta (\nu -\nu_0)-\delta (\nu +\nu_0)\bigg)\) Transformation de Fourier d'un sinus de fréquence 4 Hz Pour représenter graphiquement un Dirac on utilise une flêche vers le haut. Par exemple le module du spectre d'une fonction sinusoïdale à la fréquence de 4Hz est composé de deux Dirac. Cela nous donne le graphique suivant: Transformation de Fourier de la fonction cosinus De même que pour la fonction sinus, la fonction cosinus n'est pas une fonction de carré intégrable. On utilisera donc la définition étendue en utilisant la théorie des distributions.
Une page de Wikiversité. Bibliothèque wikiversitaire Intitulé: Transformées de Fourier usuelles Toutes les discussions sur ce sujet doivent avoir lieu sur cette page. Le tableau qui suit présente les fonctions usuelles et leur transformée dans le cas où on utilise la convention la plus fréquente conforme à la définition mathématique. Transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse Quelques unes des démonstrations sont données dans le chapitre: Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles. Fonction Représentation temporelle Représentation fréquentielle Pic de Dirac Pic de Dirac décalé de Peigne de Dirac Fonction porte de largeur Constante Exponentielle complexe Sinus * Représentation du spectre d'amplitude Cosinus Sinus cardinal
